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(謝和虎)非線性問題的多水平校正算法
2020-05-13 | 編輯:

  眾所周知,在科學研究與工程實際中存在著大量的非線性問題,比如特征值問題、帶不等式約束的最優控制問題等.尤其是其中的特征值問題是個基本而又有特色的問題,大量出現于量子力學、復雜結構共振模態分析、材料科學中.相對于邊值問題的求解,特征值問題和非線性方程的求解更加復雜和困難,內存開銷往往也更大,研究特征值問題和非線性方程的高效算法及其理論具有重要的理論和實際意義. 

  基于對有限元中Aubin-Nitsche技巧的新認識,我們構造了求解特征值問題和非線性方程的多水平校正算法,并且給出了相應的理論分析,顯著提高了求解這些問題的效率.利用定義在粗網格上的有限元空間,我們構造了一個特殊的低維子空間,它可以把細網格上高維的特征值問題或非線性方程的求解轉換成細網格上線性邊值問題的求解和我們所構造的低維子空間上特征值問題或非線性方程的求解.由于避免了在細網格上直接求解高維的特征值問題和非線性方程,多水平校正算法顯著地提高了它們的求解效率.特別地,求解多項式形式的非線性方程(包括特征值問題),我們設計的多水平校正算法的漸近計算量可以達到最優且與非線性迭代次數無關,這是求解非線性問題所能達到的最優程度. 

  多水平校正算法是一種全新的非線性迭代方法,為多重網格算法在非線性問題中的應用提供了合理的方式,可以作為設計非線性問題多重網格類和其它高效算法的框架,為把求解非線性問題的計算量減少到求解線性問題的計算量提供了途徑.目前為止,已使用擴展子空間算法和多水平校正算法設計了求解線性特征值問題、帶不等式約束的最優控制問題、Bose-Einstein凝聚的基態問題、電子結構中的Kohn-Sham方程、反散射特征值問題、多尺度特征值問題和半線性橢圓方程等的多水平或多重網格算法.多水平校正算法已被一些研究者用來設計求解其它問題的高效算法,近來也被半導體研究中的Anderson局域化問題的數值模擬所關注.    

    

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